電工基礎(chǔ)：RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)與全響應(yīng)（42）

吳翠萍發(fā)布于2020-06-29 18:19 10 2 標(biāo)簽：電工入門,電路

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動(dòng)態(tài)電路，對于大多數(shù)人而言，其難點(diǎn)在于微分方程的求解與理解，我上次就提到過，這些微分方程的過程其實(shí)我們不必要深究，但是我們要理解這個(gè)方程解的含義，例如上次所學(xué)的“RC電路的零輸入響應(yīng)”中的積分常數(shù)，就是電容的初始電壓值。區(qū)別于RC電路的零輸入響應(yīng)，我們這次接著學(xué)習(xí)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)與全響應(yīng)。

零狀態(tài)響應(yīng)，是指電路在零初始狀態(tài)下(即儲能元件的初始能量為零)，僅由外加電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。而零輸入響應(yīng)是指動(dòng)態(tài)電路中無外施激勵(lì)電源，輸入信號為零，僅由動(dòng)態(tài)元件(電感元件或電容元件)的初始儲能所產(chǎn)生的響應(yīng)。

圖42-1

上圖42-1所示RC串聯(lián)電路，開關(guān)K閉合前電路處于零初始狀態(tài)，也就是電容電壓為零，uC(0-)=0。在t=0時(shí)刻，開關(guān)K閉合，電路接入直流電壓源US。根據(jù)回路電壓列出KVL方程，可以得到，電阻電壓加上電容電壓等于電源電壓。

根據(jù)VCR：uR=iR、i=CduC/dt，代入KVL方程得到一階線性非齊次方程，如圖42-1所示。所謂非齊次，是指等號右邊不為零，而是等于US。區(qū)別于我們上次所學(xué)的RC電路的零輸入響應(yīng)，即“所謂一階，是指方程中關(guān)于uC的導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)(duC/dt)，在電路中表現(xiàn)為僅含一個(gè)儲能元件或可等效為一個(gè)儲能元件的電路;齊次在這里指的是等號右邊為零?！?/span>

一階線性非齊次方程的求解，我們直接套用公式，由特解和對應(yīng)的齊次方程的通解兩個(gè)分量組成，如圖42-2所示。

圖42-2

所謂方程的通解，不同的微分方程具有不同的形式，例如我們上次學(xué)習(xí)中遇到的一階齊次微分方程，方程的通解為uC =Aept。這是因?yàn)閷τ谝粋€(gè)微分方程而言，其解往往不止一個(gè)，而是有一組，可以表示這一組中所有解或者部分解的統(tǒng)一形式，就稱為通解。而特解是這個(gè)方程的所有解當(dāng)中的某一個(gè)，為已知數(shù)。

圖42-3

我們求解圖42-2中的方程，先求其特解，如圖42-3所示，特解的求解相對簡單，因?yàn)樗且粋€(gè)已知數(shù)，直接代入方程即可。常數(shù)的微分為零，求出特解即為US;而齊次方程的通解，我們在上一次也已經(jīng)學(xué)習(xí)過，結(jié)合時(shí)間常數(shù)τ，可以得出特解的公式。后得出非齊次方程的通解如圖42-3所示。

現(xiàn)在通解公式中只有一個(gè)未知數(shù)A,我們代入電容電壓t=0 時(shí)的初始值uC(0 )=uC(0-)=0，可以求出A=-US。為什么代入初始值呢?曹老師在《電工基礎(chǔ)》中也提到，求積分常數(shù)A時(shí)，可以找t等于某一時(shí)刻時(shí)的電容電壓值代入通解公式，比較容易計(jì)算的時(shí)間有t=0 時(shí)刻和t=∞時(shí)刻，那為什么不是選t=∞呢?這是因?yàn)閠=∞時(shí)，Ae-t/τ趨于零，此時(shí)計(jì)算A無意義。

圖42-4

終，我們就可以得到RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)的電容電壓、電路電流的解如圖42-4所示。畫出電容定壓和電流的變化規(guī)律，可以看到，電容電壓uC以指數(shù)形式趨近于它的終恒定值US，當(dāng)電容電壓達(dá)到恒定值US后，電壓和電流不再變化，此時(shí)電容相當(dāng)于開路，電流為零。此時(shí)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)，所以把電容電壓的特解部分稱為穩(wěn)態(tài)分量，對應(yīng)齊次方程的通解部分稱為暫態(tài)(瞬態(tài))分量。結(jié)合我們上次所學(xué)的RC電路的零輸入響應(yīng)，可以得出，暫態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減，其變化規(guī)律取決于特征根(或者說取決于時(shí)間常數(shù)τ)。

知道了RC電路的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，接下來學(xué)習(xí)RC電路的全響應(yīng)就簡單多了。所謂全響應(yīng)是指當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路(只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件)受到外電源激勵(lì)時(shí)，電路的響應(yīng)。圖42-5所示RC串聯(lián)電路，電容在換路前已充有一定能量，其電壓為U0。

圖42-5

顯然，RC串聯(lián)電路的全響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之間只差了一個(gè)初始值。全響應(yīng)的方程解如圖42-5所示，和圖42-4相比較，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖42-5中的U0=0時(shí)，就變成了圖42-4中的結(jié)果。其實(shí)從另一個(gè)角度思考，根據(jù)疊加定理，全響應(yīng)的解恰好是的等于零輸入響應(yīng)的解零狀態(tài)響應(yīng)的解。

圖42-6

如圖42-6所示，全響應(yīng)可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，也可以分解為瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量，但不管怎么分解，都不過是從不同角度去分析全響應(yīng)的。簡而言之，全響應(yīng)總是由初始值、特解和時(shí)間常數(shù)三個(gè)要素決定的。所以可以利用三要素法求解一階線性電路微分方程。

在直流電源激勵(lì)下，若一階動(dòng)態(tài)電路的初始值為f(0 )，特解為穩(wěn)態(tài)解f(∞)，時(shí)間常數(shù)為τ，則全響應(yīng)如圖42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ這三個(gè)要素，就可以根據(jù)圖42-7的式子直接寫出直流激勵(lì)下一階電路的全響應(yīng)。

圖42-7

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線的起點(diǎn)是零點(diǎn)，類似的，全響應(yīng)的曲線又是怎樣的呢?大家可以自行思考，嘗試畫一下。

利用三要素法求解RC電路的全響應(yīng)，主要是計(jì)算三要素，初始值我們之間也已經(jīng)學(xué)過了，時(shí)間常數(shù)完全取決于電路的R和C，電阻的計(jì)算可以通過電阻的等效變換計(jì)算，后是穩(wěn)態(tài)值，因?yàn)殡娐愤_(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路，根據(jù)這個(gè)特性可以很快地算出穩(wěn)態(tài)值。

RC動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)，我們也已經(jīng)學(xué)完了，在《電工基礎(chǔ)》課程中，曹老師還詳細(xì)地講解了幾道習(xí)題，希望大家有機(jī)會就同聽一下。我們下次繼續(xù)學(xué)習(xí)RL電路的各種相應(yīng)。